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Louis Antoine, mathématicien aveugle

Publié par richard974 le 01-07-2008 - Edité le 01-07-2008


Louis Antoine, géomètre aveugle Jean LEFORT : professeur honoraire en classe préparatoire, ancien animateur de l'IREM de Strasbourg. POUR LA SCIENCE - N° 352 FEVRIER 2007

Blessé de la guerre de 1914-1918, Antoine a fait ouvre de pionnier dans la topologie naissante. Les aveugles réussissent mieux en mathématiques que dans les autres disciplines scientifiques : un mathématicien " voit " les structures dans sa tête. Nous avons en France très peu de docteurs en mathématiques, bien que nos agrégés aient une haute culture. C'est que les Français n'aiment guère le médiocre et, de peur de ne faire qu'assez bien, beaucoup ne font rien qui pourraient faire très bien. Malgré ses brillantes qualités, sans la guerre, M.Antoine n'aurait peut-être jamais fait de travail personnel. Son exemple incite à oser. Henri Lebesgue, rapport sur la thèse de Louis Antoine, 1921 Que de fois employons-nous l'expression " on voit que " dans une démonstration mathématique ! Ce sens du mot " voir " n'est pas celui de l'acception courante et ce serait une erreur de penser qu'un aveugle ne peut faire des mathématiques. Les mathématiques font avant tout appel à des images mentales que, malvoyant ou non, chacun examine à l'intérieur de son cerveau. Louis Antoine est l'un de ces brillants mathématiciens aveugles; non content de faire une thèse en géométrie, il a amélioré la notation Braille des mathématiques et a su, par son influence, faire modifier les lois concernant les aveugles et les malvoyants. Rien ne prédisposait Louis Auguste Antoine, né le 23 novembre 1888 à Mirecourt, dans les Vosges, à devenir le mathématicien qui allait se battre pour les aveugles. C'est "un bon élève", doué pour les sciences et les mathématiques. Dans ses carnets de notes, il est félicité pour " des qualités remarquables d'ordre et de clarté". Il fréquente le lycée de Nancy, puis, son père ayant été nommé directeur de la Manufacture d'allumettes de Saintines (Oise), il entre au collège de Compiègne où un professeur originaire du Midi l'initie au rugby; ce sport le passionnera toute sa vie et il écoutera régulièrement les reportages radiophoniques. Il passe ses deux baccalauréats à Paris en 1905 (latin-sciences) et 1906 (mathématiques). En 1908, il est reçu à l'École normale supérieure et à l'École polytechnique. Ayant choisi la première, il en sort agrégé en 1912.Il fut tout de suite affecté en classe préparatoire à Saint-Cyr au lycée de Dijon. Entre-temps, il a fait la connaissance de Gaston Julia, entré à l'École normale supérieure deux ans après lui et qui est devenu son ami. Peu avant la Première Guerre mondiale, il rencontre deux sours jumelles, Marguerite et Yvonne Rouselle. toutes deux internes à l'École normale d'institutrices de Mouy (Oise) et filles d'un clerc de notaire. Marguerite tombe sous le charme des très beaux yeux bleus de Louis. L'inclination est réciproque et des fiançailles sont célébrées. La guerre va modifier le destin. À la déclaration de la guerre, il était sous-lieutenant de réserve au 72e régiment d'infanterie (R.I.) d'Amiens. Il est mobilisé, dès le 2 août 1914, comme commandant de la 2e section de mitrailleuses au 151e R.I., un des régiments qui s'illustrera tout au long de la guerre. Antoine est blessé le 25 août et le 30 octobre par des éclats d'obus, alors qu'il se trouve dans une tranchée près de Ramscapell en Belgique. Il est nommé capitaine à 29 ans. Son courage et sa maîtrise lui valurent d'être cité quatre fois à l'ordre de la division et trois fois à l'ordre de l'armée. Le 28 novembre 1916, il est nommé Chevalier dans l'ordre de la Légion d'honneur et décoré de la Croix de guerre avec palme. Lors de rares permissions, il retrouve sa famille el revoit Marguerite Rouselle qui l'attend toujours. Il lui raconte le front en montrant les très nombreuses photos qu'il a prises. Le drame arriva le 16 avril 1917 pendant la tragique opération du Chemin des Dames. Dans l'Aisne, près de Reims, sur les rives de la Miette, il attaque avec son groupe le Fort de Brimont. Le mathématicien Gaston Julia raconte l'événement: " L'attaque progresse jusqu'à un talus de chemin de fer, derrière lequel les compagnies se terrent dans l'attente des derniers bonds. Antoine surveille à la jumelle les tranchées allemandes quand une balle lui enlève les deux yeux. Il est aveugle, mais ne le sait pas encore. À l'hôpital, on lui dit qu'il a perdu un oil et que l'on espère sauver l'autre. Évacué à Paris, dans l'hôpital-annexe du Val-de-Grâce, installé dans l'ancien Carmel de la rue Denfert-Rochereau (qui n'existe plus aujourd'hui), où l'on soigne les blessés de la face, c'est là que je le retrouve un matin où l'on me prie de venir au pansement de 8 heures, car l'un de mes camarades de Normale est arrivé dans la nuit et demande à me voir. J'accours à la salle des pansements et Antoine me dit simplement : "Regarde bien pendant qu'on me panse et dis-moi simplement comment sont mes yeux : je veux toute la vérité." Elle est poignante : il n'y a plus rien dans ses orbites vides. Je le lui dis, tristement. Il me prend la main et me remercie affectueusement de l'avoir "traité comme un homme". " La balle est entrée par l'oeil gauche et est ressortie par le sinus droit. Non seulement Antoine est aveugle, il est aussi privé du sens de l'odorat. La convalescence va durer plusieurs mois. Il la partage avec son ami Julia qui revient souvent dans ce Carmel où il est lui-même soigné pour une grave blessure au visage (Gaston Julia a perdu son nez). Ils sont dans la même chambre, ce qui leur permet de partager des souvenirs et d'envisager l'avenir. Un autre mathématicien prestigieux, Henri Lebesgue, vient aussi le voir de temps à autre. Le noir avenir En ce début du XXe siècle, l'avenir d'un aveugle était plus que sombre. Comment continuer l'enseignement en lycée? Invalide de guerre, il avait droit à une pension, mais Louis Antoine ne pensait pas que sa vie active était finie: il voulait retravailler. Et puis il y avait Marguerite ! Elle avait été nommée institutrice à Vert-le-Petit, dans l'Essonne. Antoine propose à Marguerite de se délier de sa promesse de mariage: comme bien d'autres femmes, elle refuse, en partie peut-être par patriotisme, mais surtout par un amour intense et discret. Leur mariage est célébré le 15 mai 1918. Antoine se bat : les épreuves révèlent les esprits forts. Il se met au Braille et ses amis Lebesgue, Marcel Brillouin et Julia firent copier en Braille les principaux traités de mathématiques de l'époque. Rien ou presque n'étant prévu pour transcrire en Braille les formules mathématiques, Antoine et Bourguignon, un élève de l'École normale supérieure de Saint-Cloud, inventent des signes, toujours utilisés aujourd'hui, pour les symboles mathématiques. Lebesgue lui suggère de passer dans l'enseignement supérieur où sa cécité serait moins sévèrement jugée, mais pour cela il lui fallait soutenir une thèse. Comme il y avait peu de bibliographie en topologie ou plutôt, comme on disait, en Analysis Situs. Lebesgue l'oriente dans cette branche en lui proposant d'étendre à l'espace un résultat du plan. Le 9 juillet 1921, après des efforts épuisants, il soutient sa thèse à Strasbourg " Sur l'homéomorphie de deux figures et de leurs voisinages ". Dès1919, il a trouvé un poste à Strasbourg. Cette faculté n'est pas son choix, et la famille ne se sentit jamais à l'aise dans cette ville: les chamboulements dus au retour de l'Alsace à la France ne firent pas que des heureux parmi les Alsaciens dont certains crurent pouvoir reporter sur les " Français de l'intérieur " la cause de leurs difficultés. Aussi profite-t-il de la première occasion pour quitter cette ville. En 1922, il accepte le poste de maître de conférences à la faculté de Rennes. Peut-être faut-il voir dans sa nomination la main de Lebesgue qui y avait enseigné de 1902 à 1906. Antoine fera toute sa carrière dans cette ville, malgré des propositions alléchantes de venir enseigner à la Sorbonne. Il est nommé professeur de mathématiques pures en 1925. puis maître de recherches en 1931, Un fait d'armes pour l'époque. Après la naissance de Maurice à Strasbourg, ses deux filles, Madeleine et Denise, naissent à Rennes : Antoine a toujours regretté de ne pas voir ses enfants, Ces derniers ont été habitués à ne pas laisser traîner leurs jouets, à laisser une porte soit fermée, soit grande ouverte, sinon leur père s'y heurtait. Bon père, il surveillait les devoirs de ses enfants, intervenant en français, en latin, en grec, en physique, en mathématiques bien sûr... les obligeant à retrouver par eux-mêmes les règles à appliquer. A apprendre les bonnes méthodes de travail. Cependant, les enfants se sentaient gênés du regard des amis qu'ils invitaient. En effet, si Antoine portait des lunettes noires à l'extérieur, ce n'était pas le cas chez lui, et son visage du côté gauche pouvait effrayer. Louis Antoine mettait un point d'honneur à faire certaines choses difficiles pour un aveugle, comme bricoler : réparer un fer à repasser, faire de menus travaux de menuiserie, changer les plombs. Et à côté, d'autres choses qu'il ne pouvait pas faire ou se refusait à faire : à table, par exemple, il fallait lui couper la viande, ce que faisait son épouse, toujours a ses côtés : pour se déplacer à l'extérieur, il exigeait d'être accompagné, ce qui était une charge pour Marguerite, même si plus tard il arriva que ce furent les enfants qui accompagnaient leur père à la faculté, enfants qui ressentaient le regard curieux des étudiants. Ce refus de se déplacer seul à l'extérieur est assez étrange de la part d'un homme qui s'est tellement investi pour que les aveugles aient leur place dans la société. Pourtant, il avait l'exemple de l'un ou l'autre des membres de l'Union des aveugles de guerre qu'il lui arrivait de recevoir et qui venaient seuls par le train puis à pied jusqu'à son domicile dans une ville qu'ils ne connaissaient pas, une explication détaillée du chemin à suivre leur étant suffisante. Dès le début de son invalidité, il s'était mis à la musique, apprenant le piano à partir d'une méthode en Braille, puis il avait adopté la mandoline, plus facile à transporter. La musique était son principal passe-temps. La grande discothèque qu'il s'était constituée et les émissions radiophoniques lui permettaient de satisfaire sa passion. À tel point qu'une de ses filles, alors en classe maternelle, à qui la maîtresse avait demandé ce que faisait son père, avait répondu : " Papa, il écoute de la musique! " Il pouvait aussi lire des romans ou d'autres livres en Braille. Plus tard, apparurent les livres enregistrés, mais Antoine n'apprécia pas cette formule où il est trop difficile de revenir en arrière. L'adaptation à l'enseignement Toute son énergie, il la mit à exercer son métier. Il lui fallait écrire au tableau, il avait pris des leçons d'écriture avec sa secrétaire pour écrire droit aussi bien le français que les formules mathématiques (placer correctement numérateur et dénominateur d'une fraction est un piège pour un aveugle). Comme tout professeur, après avoir écrit au tableau, on se retourne vers les étudiants et quand on veut continuer l'écriture, il faut savoir où l'on s'est arrêté. Il avait donc fait partager le tableau en trois morceaux par des réglettes verticales munies de trous dans lesquelles pouvait se loger une cheville. Il plaçait la cheville là où il s'arrêtait, ce qui lui permettait de revenir écrire au bon niveau. En revanche, il lui était impossible de dessiner des figures indispensables en géométrie. Aussi étaient-elles préparées chez lui, par son épouse avec l'aide de professeurs de mathématiques, sur de grandes feuilles de Canson, feuilles qu'il identifiait par une marque en Braille faite avec un poinçon et une grille qui ne le quittaient guère. Ces instruments obligent à une gymnastique de l'esprit, car il faut écrire sur le verso à l'envers en faisant des creux qui seront lus au recto comme des bosses. Il faisait accrocher ces figures qu'il commentait avec une précision éblouissante ; au point qu'un jour, l'un de ses étudiants s'enhardit à lui demander, lors d'un cours de géométrie adaptée à la cartographie : " Mais Monsieur, comment faites-vous? " Il obtint cette réponse teintée d'humour: " Vous savez, je suis aveugle de guerre, une balle m'a privé de la vue, et la dernière chose que j'ai vue, c'est une carte d'état-major " ; et il avait ajouté, prouvant ainsi son sens pédagogique : " En géométrie, j'ai un avantage sur vous ; vous, vous voyez la figure, mais la figure tout entière ; moi aussi je vois la figure, mais je n'en retiens que la partie qui m'intéresse pour traiter la question. " Pour être sûr que son écriture manuelle était toujours lisible, il s'astreignait, chez lui, à faire des pages d'écriture, exigeant qu'on lui signale les déviations par rapport à l'horizontale. L'autre problème était la correction, celle des articles qu'il avait donné à publier ou les copies. Au début, son épouse Marguerite lui lisait les copies. Il lui avait appris la prononciation des différents symboles et c'est elle qui écrivait les annotations et mettait les notes. La tâche était fatigante, surtout quand il s'agissait de copies d'examen souvent reprises plusieurs fois jusque tard le soir. Ultérieurement, les enfants eurent le droit (un privilège!) de classer lès copies par ordre alphabétique avant de les remettre dans la sacoche de leur père. Quand l'intégration des aveugles dans l'enseignement se fut améliorée, Antoine reçut, pour effectuer ce travail, l'aide d'un assistant, une étudiante ou un étudiant boursier. Cette aide que lui octroyait l'État, il l'avait obtenue pour tout enseignant aveugle par ses interventions incessantes auprès des ministères. Un remarquable pédagogue Entre les deux guerres, il écrivit plusieurs articles, soit sur des sujets connexes à sa thèse, soit sur d'autres sujets plus en relation avec ses cours, articles qui furent publiés dans des revues mathématiques internationales. Si Antoine ne se déplaçait guère, l'importance de sa thèse n'échappait à aucun des mathématiciens qui se lançaient dans la topologie, discipline alors naissante. Aussi reçut-il de nombreux mathématiciens, notamment Alexandrov, fondateur de l'École topologique russe, et Urysohn quelques jours avant la noyade accidentelle de ce dernier à l'île de Batz en août 1924. Comme d'autres grands scientifiques, il s'intéressait aux connaissances qu'il pouvait échanger avec ses interlocuteurs, et non à leur opinion ou leur nationalité. En particulier, les mathématiciens allemands, qui avaient honte de se présenter devant un invalide de guerre, repartaient rassurés et impressionnés comme en témoigna Heinz Bauer qui le rencontra en 1956. Il avait le sens de l'hospitalité, qu'il partageait avec son épouse. Ainsi, il allumait la lumière quand le jour déclinait alors qu'il était en conversation avec son hôte. Il avait reçu de la Croix-Rouge suisse une montre gousset pour aveugle, c'est-à-dire qu'il n'y avait pas de verre et qu'il pouvait toucher et les aiguilles et les chiffres en Braille. Aussi, le soir, il la consultait et intervenait à propos. Si par hasard, absorbé par l'entretien, il oubliait, Madame Antoine entrait discrètement et allumait la lumière. La Seconde Guerre, comme partout, perturba beaucoup la vie à Rennes. Il y avait l'accueil des réfugiés venant des différentes régions de France, en particulier de l'Aisne et de l'Oise. C'est Marguerite qui s'en occupa, délaissant quelque peu son mari qui lui répondait régulièrement: " Ça ne fait rien, fais ton devoir. " À la demande de Louis, sa nièce et sa famille (deux jeunes enfants) vinrent quelque temps partager leur vie à Rennes. Quand ils retournèrent en région parisienne, ils reçurent régulièrement des petits colis qui amélioraient un ordinaire bien chiche. Durant l'Occupation, une chambre de leur appartement fut réquisitionnée pour le logement d'un officier allemand de la Kommandantur. La plupart de ces officiers eurent un comportement assez gêné vis-à-vis du grand blessé de guerre qu'était Louis Antoine. Les rapports furent donc corrects, sans plus, et il éteignait la radio de Londres quand il entendait l'officier allemand rentrer à la maison ; mieux valait quand même se méfier ! Lors des bombardements, les enfants, assez craintifs au début, furent rassurés par le très grand calme de leur père. Celui-ci leur disait seulement qu'il fallait se méfier des Allemands, en temps de guerre s'entend. La guerre n'avait pas interrompu son enseignement qu'il continua à la libération. Toujours aussi pédagogue, il rédigea un cours de calcul différentiel et intégral, édité par l'École nationale supérieure de mécanique de Nantes en 1948, cours qui était un modèle de clarté, de concision et de rigueur, et qui fut réédité en 1955. La pédagogie d'Antoine était remarquable. Le témoignage de Jean Boclé qui fut son élève avant de devenir son assistant puis, bien plus tard, doyen de la Faculté des sciences de Rennes, est éloquent: " Il parlait d'une voix nette, bien timbrée, avec un débit tel qu'il était facile de prendre des notes, d'autant plus que ses explications étaient toujours claires et qu'il ne s'embrouillait jamais dans son exposé ; exemples et contre-exemples arrivaient à point pour bien faire comprendre la théorie. Quand les élèves devaient présenter un sujet au tableau, comme lors de la préparation des leçons d'agrégation, ils n'avaient aucune précaution particulière à prendre. Assis dans un coin de la chaire, il [M. Antoine] notait ses observations au fur et à mesure sur sa petite machine Braille. Une fois la leçon terminée, il ré enroulait rapidement le ruban portant ses notes et, en le lisant du bout de ses doigts fins et agiles, il commentait la leçon avec le même brio que lorsqu'il faisait ses cours. Les textes d'examen étaient discutés avec les assistants et leur difficulté était bien dosée : jamais de traquenards ou de questions tordues. Tout ceci faisait que les résultats étaient sans surprise. À l'oral comme à l'écrit, M. Antoine ne cherchait pas à embarrasser le candidat ; je ne crois pas qu'un étudiant ait jamais perdu ses moyens devant lui [...] Dès l'interrogation terminée, pas d'attente angoissée, M.Antoine donnait tout de suite le résultat au candidat. Les solutions des devoirs d'agrégation étaient tapées à la machine en plusieurs exemplaires qu'il distribuait aux étudiants, en particulier à ceux qui, en poste dans l'enseignement secondaire, ne pouvaient assister aux séances de préparation. " Une croisade par l'exemple Après-guerre, il se fit ardent défenseur des aveugles dans l'Éducation nationale. Il fut membre du conseil d'administration de l'Union des aveugles de guerre qu'il quitta pour fonder la section d'Ille-et-Vilaine le 25 mars 1953. Un décret de Vichy de 1942 ayant interdit le professorat dans les établissements publics, il n'eut de cesse de le faire abroger. Ce furent les lois du 2 août 1949 et du 5 janvier 1951. Mais les décrets d'applications tardèrent et quand ils tombèrent, l'enseignement des mathématiques n'était pas autorisé aux aveugles! Antoine, durant des années, mena combats et interventions au plus haut niveau, montrant qu'il était l'exemple vivant de ce que peut faire un aveugle dans l'enseignement des mathématiques, pour aboutir à une législation correcte. Pour toutes ces actions, Antoine fut amené à se déplacer à Paris, voyage éprouvant pour lui et son épouse, car il ne supportait guère le train. On comprend qu'il ait ainsi refusé des postes qui lui auraient sans doute permis de mieux peser sur le cours des événements. Antoine participa à l'administration de la Faculté de Rennes. Lors des assemblées ou lors des conseils de faculté, il écoutait soigneusement, reconnaissant chacun à sa voix, puis il résumait et proposait des décisions judicieuses. Il refusa les fonctions de doyen qui l'auraient amené à de trop nombreux déplacements à Paris, mais il accepta celles d'assesseur du doyen et de représentant auprès du conseil de l'Université. Lebesgue intervint auprès de l'Académie des sciences dès 1936 pour le faire élire, sans succès. Plus tard, en 1961, sur proposition de Julia, il fut élu membre correspondant de l'Académie des sciences en section géométrie. La lettre qu'Antoine envoya à cette occasion à la célèbre institution témoigne du refus de mettre en avant sa cécité pour obtenir un poste qui ne doit être accordé qu'au seul mérite du travail scientifique. En 1957, un infarctus du myocarde le contraignit à restreindre ses activités. Plutôt que de ne pas remplir correctement toutes les tâches qui étaient attachées à sa fonction de professeur d'Université, il préféra demander son admission à la retraite. Cela ne l'empêcha pas de continuer à agir, tant dans le domaine de l'intégration des aveugles dans la société qu'au niveau de l'enseignement des mathématiques. Une preuve en fut les problèmes élémentaires qu'il proposa, à 75 ans, pour le bulletin de l'Association des professeurs de mathématiques. Il décéda le 8 février 1971, des suites d'une fracture du col du fémur. Son épouse ne lui survécut que quelques semaines et s'éteignit le 24 mai 1971. Fut-il compris dans sa famille? La réponse est négative. Pourtant, à l'occasion du centenaire de sa naissance, sa famille se rendit compte qu'elle avait côtoyé un grand homme ainsi qu'en témoigne sa fille Denise Legros : " Il a fallu arriver à cette journée où il aurait eu 100 ans pour que j'apprenne l'existence du collier d'Antoine. [...] Il ne s'est jamais vanté de sa science et nous ne nous rendions pas compte de l'importance de ses travaux. Certes, nous voyions bien venir à la maison des mathématiciens étrangers et on nous disait celui-ci est américain, cet autre est allemand ; il lui arrivait même d'avoir des réunions ou des dîners à l'extérieur avec des professeurs étrangers qui venaient, mais nous n'en savions guère plus. Maman m'avait dit: "Oh, tu sais, ton père fait des travaux importants et s'il n'était pas aveugle nous aurions été souvent en congrès à l'étranger." Mais il était impossible de le persuader de voyager. " Et si Louis Antoine n'avait pas été aveugle? Nous resterons avec cette interrogation vaine que partagent bien des mathématiciens. Toujours est-il que les travaux d'Antoine ont une longue postérité: elle servit à trouver des contre-exemples à des conjectures fausses et de marchepied à Michael Freedman qui obtint, en 1982, la médaille Fields pour sa démonstration de la conjecture de Poincaré en dimension 4. La grandeur d'un mathématicien se mesure plus à la fécondité de ses idées qu'à la quantité de ses travaux. Aveugle, Antoine n'a sans doute pas écrit tout ce qu'il aurait voulu, toute rédaction lui demandant deux fois plus de temps qu'à ses collègues. De plus, sa phobie des voyages un peu lointains l'a sans doute mis à l'écart d'une communauté mathématique qui s'internationalisait. Cependant, 60 ans après sa thèse, ses travaux inspirèrent un mathématicien qui obtint pour cela une médaille Fields ; force est de reconnaître la grandeur et le mérite de Louis Antoine. Dans la notice nécrologique que lui consacra son ami Gaston Julia, on lit : " Pour lui, plus que pour tout autre, [l'Académie] fit sienne cette parole d'Henri Poincaré : La pensée n'est qu'un éclair au milieu d'une longue nuit, mais c'est cet éclair qui est tout. "

Bibliographie

  • Thèses présentées par Louis Antoine, Paris, Gauthier-Villars, 1921.
  • Journée Louis Antoine du 18 novembre 1988, Publication de l'Institut de

recherche mathématique de Rennes, 1988.

La thèse de Louis Antoine On dit que la topologie est la science des objets en caoutchouc : ainsi, d'un point de vue topologique, on ne distingue pas un ballon de foot d'un ballon de rugby en ce sens qu'il est tout à fait possible d'étirer " par la pensée " un ballon de foot pour le transformer en ballon de rugby (on pourrait faire de même avec un cube). Toutefois on ne peut déformer un ballon en une chambre à air : il faudrait percer le ballon aux deux pôles et raccorder les bords des deux trous, ce que s'interdit la topologie. En mathématiques, on ne se contente pas de rester à cet aspect caoutchouteux de la question qui ne permettrait aucun calcul. Considérons d'abord le cas des courbes. Ce sont des objets mathématiques à une dimension: pour repérer un point sur une courbe, il suffit de se donner une origine et un nombre, par exemple la distance de ce point (l'abscisse curviligne) à une origine. On dira donc que deux courbes sont identiques d'un point de vue topologique si l'on connaît une correspondance continue entre l'abscisse curviligne sur l'une des courbes et l'abscisse curviligne sur l'autre. Cette correspondance doit fonctionner dans les deux sens de façon non ambiguë. Ainsi, deux segments, même de longueur différente, se correspondent, en projetant l'un sur l'autre (a) et de même un demi-cercle et son diamètre se correspondent (b), donc sont équivalents topologiquement. En revanche, un cercle et un segment ne sauraient se correspondre, de même qu'un cercle et une courbe en 8-dans le premier cas parce que le segment a deux bouts, ce que n'a pas le cercle, dans le deuxième cas à cause du point double (le point de croisement) du 8, qui n'a pas d'équivalent sur le cercle. De telles correspondances sont nommées homéomorphismes et les objets sont dits homéomorphes. Le réflexe des mathématiciens est de généraliser. Par exemple, dans le plan, si deux courbes A et B sont homéomorphes, on peut étendre l'homéomorphisme à tout le plan, par une transformation qui fait correspondre un point du plan à un autre (éventuellement le même) et qui transforme la courbe A en la courbe B. Mais ce n'est déjà plus vrai dans l'espace, comme on le remarque en considérant un noud fermé (c). En effet, si l'on remplace la courbe par un tube plein (d), le tube ne doit pas être trop gros, sinon il se croiserait avec lui-même: l'homéomorphisme ne peut donc être étendu qu'à un petit voisinage. La thèse d'Antoine porte sur ce problème d'extension des homéomorphismes. Il distingue trois cas: 1) La correspondance (homéomorphisme) peut être étendue à tout le plan ou à tout l'espace. 2) La correspondance ne peut être étendue qu'à un voisinage. 3) La correspondance ne peut être étendue d'aucune manière. Antoine démontre que, dans le plan, on est toujours dans le premier cas, mais que, dans l'espace, les trois cas peuvent apparaître. Pour illustrer le deuxième cas, il étudie en détail les courbes que l'on peut tracer sur le tore (nom mathématique de la chambre à air). Il montre alors que. du point de vue de la topologie, ces courbes sont caractérisées par deux nombres, le nombre de tours qu'elles font d'une part autour de l'axe du tore, et le nombre de tours qu'elles font autour de la circonférence des centres des cercles méridiens, le cercle axial (4), Pour qu'il existe une homéomorphie du type(1) qui transforme un cercle en une telle courbe, il faut et il suffit que l'un des deux nombres de tours précédents soit égal à 0 ou 1. Dans tous les autres cas, on se trouve dans le cas (2). Ainsi la courbe (e) tracée sur le tore est homéomorphe à un cercle, pas la courbe (f). Pour illustrer le troisième cas, Antoine reprend l'idée d'une courbe nouée, mais, cette fois-ci, nouée une infinité de fois (g), les nouds étant de plus en plus serrés jusqu'en un point 0. On comprend alors qu'il est impossible de placer autour de cette courbe un petit tube, aussi fin soit-il, car, quel que soit son diamètre, il ne pourra pas être prolongé jusqu'en 0 sans croiser la courbe.

Dans ce qui précède, il s'agit toujours de courbes fermées. Reste le cas des courbes ouvertes. Les exemples précédents peuvent être modifiés pour montrer l'existence du type (1) et du type (3). Dans ce dernier cas, il suffit de prendre un morceau de la courbe infiniment nouée, morceau contenant le point limite 0. Reste à trouver un exemple illustrant le type (2) où l'homéomorphisme se réduit à un voisinage. Pour cela, il introduit un ensemble que nous appelons aujourd'hui, à la suite de Benoît Mandelbrot, " fractal ". Vu de loin, il s'agit d'un collier fait de chaînons. En s'approchant, on voit mieux le détail des chaînons. Chacun d'entre eux est un collier fait de chaînons, et ainsi de suite au fur et à mesure que l'on augmente le grossissement. C'est le fameux collier d'Antoine (voir la figure 1)- L'idée n'était pas nouvelle, puisque Cantor, avec son ensemble triadique, Von Koch. avec son flocon, venaient d'étudier quelques propriétés de ce type d'ensembles, mais Antoine en fera un usage systématique. Antoine prend, d'une part, un ensemble Q formé de deux tels colliers, non enlacés, et, d'autre part, un ensemble Q1, formé de deux colliers enlacés et montre l'existence d'un homéomorphisme entre Q et Q1. Il semble assez facile de mettre en place un homéomorphisme entre Q et Q1, chacun des colliers de Q correspondant à chacun des colliers de Q1. Encore faut-il démontrer que cette correspondance est continue et que. si elle peut s'étendre à un voisinage de ces figures, elle ne peut s'étendre à l'espace tout entier. L'argument d'Antoine, non détaillé ici, réside dans le fait que les deux colliers de Q, sont enlacés tandis que ceux de Q1 le sont pas. Voilà ce qui fait le génie d'Antoine; en n'utilisant qu'une partie convenablement choisie de ces colliers, on obtient alors une illustration du type 2 pour une courbe ouverte (h). La célèbre sphère cornue d'Alexander a été proposée par ce mathématicien le 19 novembre 1923 non seulement comme une simplification du collier d'Antoine, mais surtout comme contre-exemple à la conjecture de Schoenflies sur les sphères en dimension supérieure ou égale à 3. Ainsi, l'intérêt du collier d'Antoine dépasse largement la simple illustration de sa thèse. Cet objet a un rôle d'exemple type symbolisant les pièges et les dangers que rencontrent les topologues en dimension 3: les mathématiciens, comme le commun des mortels, ont une bonne intuition de la géométrie plane, pas du tout de la géométrie dans l'espace qui réserve bien des surprises et des paradoxes. Il n'est sans doute pas étonnant que ce soit justement des mathématiciens aveugles qui aient fait progresser la topologie. Peut-être faut-il y voir, comme le note Alexei Sossinski, le fait que la capacité spatiale d'une personne voyante est fondée sur l'analyse par le cerveau de l'image en deux dimensions, projetée sur la rétine, d'un monde tridimensionnel, alors que celle d'une personne aveugle résulte de l'analyse par le cerveau d'une représentation fondée sur le toucher et l'ouïe. Dans les deux cas, le cerveau crée des méthodes souples de représentation spatiale basée sur l'information donnée par les sens. Or la projection de l'espace en deux dimensions sur la rétine est inadéquate et trompeuse, comme le montrent les illusions d'optiques, alors que l'aveugle, en privilégiant le toucher, a une intuition directe de l'espace à trois dimensions.

Quatre étapes du nombre infini d'étapes de la construction du collier d'Antoine. Un tel ensemble est ce qu'on appelle un ensemble parfait partout discontinu. En ce sens, il ressemble un peu à la situation de l'ensemble des nombres rationnels (les nombres qui s'écrivent sous forme de fractions d'entiers] par rapport à l'ensemble de tous les nombres réels. Si on prend un intervalle, aussi petit soit-il, qui contient un rationnel donné, cet intervalle en contient une infinité d'autres. De même, si on prend une sphère, de rayon aussi petit soit-il, centrée sur un point du collier, cette sphère contient une infinité de points du collier. On parle alors d'ensemble parfait. D'autre part, si on prend deux nombres rationnels aussi proches que l'on veut l'un de l'autre, il est toujours possible d'intercaler entre eux un nombre irrationnel. De même si on prend deux points sur le collier d'Antoine, aussi voisins soient-ils, ces deux points appartiennent à deux anneaux distincts. On parle alors d'ensemble partout discontinu. Ce collier possède d'autres propriétés étranges qu'Antoine a mises en évidence. La notion habituelle de continuité laisserait à penser que si le collier est discontinu, il doit être possible de trouver une surface qui traverse le collier sans le rencontrer, c'est-à-dire telle qu'il y ait des points du collier à l'intérieur et à l'extérieur (de part et d'autre) de la surface, mais aucun sur la surface. Cela est faux.

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